ルーターは購入時のデフォルトで使用しても特には問題ありませんが、ゲームや、メッセンジャーソフト、リモートログインしたいなどのときにはちょっと設定を変えてやる必要があります。
ルーターには基本機能として、ファイアーウォールというものがあって、外からの不正なアクセスを遮断する役目をもっています。
デフォルトでは大体この機能がONになっていてよけいなアクセスは遮断している状態になっています。
ですので、ゲームなどでは、そのゲームのメーカーが指定するポートを意図的に開いてあげなければなりません。
リモトーログオン　つまり外出先のPCで自宅のPCを操作したいときなどもIPアドレスを指定してそのアドレスを受け付けてあげなければなりません。
他にも複数PCを使用しているときなどは、DHCPという機能を利用して接続されたPCに自動的にIPアドレスを割り振ってもらうようにしたりとか、特定のPCだけネットを利用できないようにしたりと、かなりいろいろな事ができるようになっています。

それと、ルーターには各プロパイダ接続用のIDやパスワードなどの設定ができるようになっているものもあって、モデム側で設定しなくてもいいものもあります、フレッツADSLなどがそうですね。
フレッツの場合、PCが一台の場合は基本的にPC側で接続設定をしても問題ありませんが、PC側で設定するよりはルーターなどで設定したほうが無難です。何かあったときの原因の対処が比較的楽なので。

その他にも、フレッツで注意する事は、ルーター側で接続の設定をした場合、フレッツ接続ツールなどのPPPoEクライアントソフトをインストールする必要は無いという事です。
両方で接続設定をしてしまうと接続できなかったり、ぶつかりあって不安定になったりします。
フレッツ対応のルーターはそのように表記されているので購入するときはよく確認しましょう。

最近は、初心者でも簡単に設定ができるように各プロパイダもいろいろと工夫をこらしていて、CD-ROM１枚で指示どおりに進めれば自動的に設定が終了するようになっていたりしますので、通常に使用するには特に問題なく設定できると思います。
なので細かい説明はいらないでしょう。

モデムの設定で通信速度が速くなるようなケースはあまりありませんし、設定の方法も機種によって、まちまちなので基本的な動作原理を理解していないと、手動設定は初心者には難しいと思います。
手動でも、プロパイダから支給されたユーザーIDとパスワードさえ入力すればとりあえず使用できます。

問題は一般的な使用をしてない場合です。

例えばルーターを使用してパソコンを複数台接続していたり、外出先からリモートログインしたいなどちょっと変わった使い方をしたい場合は多少知識を身につけなければうまく設定できません。
これらの場合はモデム、ルーターの役割やしくみなどを理解しないと正しく使用できない状況に陥ります。
プロパイダ側は大体一般的に使用する場合の設定しか推奨してませんので、よけいな事をやろうとするとそれなりの労力を伴います。

という事で、まずモデムの種類を説明します。

モデムには、何種類かあって全く設定のいらないもの（フレッツADSLなど)や、簡易ルーター機能が付随したものなどがあり、各事業者によって異なります。
各種設定の保存もルーター本体に記憶するものや、パソコン側に記憶するものなど様々です。
ですので、自分がやりたいことをするにはどういう機能が必要で何を用意すればいいのか理解しなければなりません。
パソコンが複数台あってそれぞれでインターネットがしたければルーターが必須ですし、１台しかないのならばルーター付きのモデムは基本的に必要ありません。（セキュリティ上あったほうがいいですが）
たまに、ルーター付きのモデムにさらにルーターをつなげて、それぞれにアカウントやDHCPなどを設定してわけがわからなくなってどうにも不安定なネットワークを使っている人がいたりします。

どうせ利用するなら、なるべく安定したネットワークを構築したいものです。
個人使用ならまだいいですが、業務で使用するとなるとやっぱり安定重視になると思います。　がこの安定というやつがなかなかくせもので、取りあえず接続しただけではなかなか実現しません。
やはりその辺は予算の兼ね合いとプロの技というやつで、高性能な機器類やいろいろな知識が必要になってきます。
常時電源の入ったパソコン(サーバー)を置いてマスタブラウザを設定したり、ドメインネットワークを利用したり、などなど一筋縄には行きません。

業務使用にはそれなりの設備投資が必要です。

OSの設定は、LANカードなどのデバイスを使用して接続する場合はそんなに難しい事はありません。
LAN関係のデバイスが正常に認識されていれば、あとはLANのコネクターを差し込むだけでほとんど半自動的に接続されます。（まあ WINDOWS XPの場合ですが。）
XPや2000以外のOSを使用している場合は、手動で設定しなければならない部分もありますが、プロパイダ側で提供されている接続ツールを使用すれば問題なく設定が完了します。
逆に言うと接続ツールを使用しないで設定を行おうと思ったらやはりそれなりの知識が必要になってきますので、だめならサポートサービスに連絡しましょう。
幸い、最近の各プロパイダのサポート係は非常に優秀で大体のトラブルは解決してくれます。

一応、設定で押さえておきたいのはDHCPの割り当てを有効にする事(IPアドレスの設定)と、DNSの設定ぐらいです。
PCが複数台あっても基本的には、ルーター側で勝手にIPを割り振ってくれますので、XPなどの同じOSどうしならば問題ありませんが、異なるOSが混在している場合(2000やMeなど)は、インターネットの接続はうまくいってもPC間の接続がうまく行かない場合があります。

それとこれは結構重要なのですが、コンピューターも万能ではない　と、いう事です、いちど正しく設定したからといって確実にOKというわけではなく、同じ事をもう一度繰り返してみたらOKだったという事がたまにあります。
これはいろいろな設定(例えばDHCPなどのIPの割り振りなど)がタイミングによってうまく機能しない場合があるということで、簡単に言うと、こうしなさいと命令しても場合によっては失敗する可能性があるのです。
パソコンの内部では常にいろいろな命令が実行されており、状況によってはうまく機能してくれない事が多々あると理解していたほうがいいでしょう。
それが設定を難しいものにしているひとつの要因だと思います。
ネットワーク設定は、詳しい知識と経験が要求されます。とはいっても気軽に自宅などで試せるものでもないので、なかなか一般の人では接する機会がないかもしれません。